Основные логические операции и их свойства
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Основные логические операции и их свойства

математике



Отправить его в другом документе Основные логические операции и их свойства Hits:



дтхзйе дплхнеофщ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Вычисление площадей плоских фигур
Решить симплексным методом задачу
АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ ЦЕЛЕЙ ФИБОНАЧЧИ
СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА
Криволинейный интеграл 1го рода
Тройной интеграл
Целочисленное и нелинейное программирование
ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
 

Основные логические операции и их свойства.


В математической логике изучаются высказывания и различные и связи между ними. При этом понятие высказывания считается основным, неопределяемым понятием. В качестве пояснения говорят лишь, что высказывание – это утверждение, относительно которого известно, истинно оно или ложно.

Если высказывание а истинно или ложно, то говорят, что оно имеет значение «и» или «л» и пишут


                             аºи или аºл.


Высказывания а и b, имеющие одинаковые значения, называются равносильными, что обозначается в виде


                             аºb


Очевидно, что отношение равносильности высказываний является отношением эквивалентности на любом множестве высказываний М, и потому М разбивается на два класса высказываний – на класс истинных и класс ложных высказываний.

В обычной речи мы из определенных высказываний а, b с помощью различных связок можно образовывать новые высказывания, например «а и b» «а или b» «если а то b», «неверно, что а». В математической логике эти высказывания обозначаются в виде

                                    

a&b (aÙb), aÚb, a->b,`a (ùa)


и называются конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и отрицанием высказывания а.







Таблица 8.1.1




a

b

a&b

aÚb

a->b

`a

и

и

и

и

и

л

и

л

л

и

л

л

л

и

л

и

и

и

л

л

л

л

и

и


 

В высказываниях a&b, aÚb, a и b называются членами, или компонентами, соответственно конъюнкции и дизъюнкции ; в высказывании а->b а называют посылкой, b – заключением импликации.

Обозначим через W = . Тогда таблица 8.1.1 может служить определением операций &, Ú, ->,`  на множестве W.

При этом операции &, Ú,`   обладают следующими свойствами:

1)       Операции &, Ú коммутативны, ассоциативны, идемпотентны, дистрибутивны одна относительно другой и связаны законами поглощения


 a&(aÚb)ºa,

                   aÚ(a&b)ºa;

                                                                               _

2)      Операция отрицания инволютивна (т.е`а = а) и связана с операциями &, Ú законами де Моргана

___                   ___

а&b º `а Ú`b,   аÚb = `а  &`b


и соотношениями


а  &`а º л, а Ú`а ºи.


          Отсюда следует, что алгебра W(&, Ú,` ) является булевой алгеброй. В ней роль 1 и 0 играют соответственно элементы и, л.

Определение 8.1.2.  Двухэлементная булева алгебра W(&, Ú,` ) называется алгеброй высказываний.


Из таблицы 8.1.1 видно, что импликация (->) также являются операцией на множестве W и обладает рядом свойств, связывающих её с другими операциями:

a   ->  b º`b ->`a (закон контрапозиции),

a   -> (b -> a) º и,

ab ->  b º и,

a   ->  b º`a Ú b  и другие.