Способы задания множеств и операции над ними























































Способы задания множеств и операции над ними

математике



Отправить его в другом документе Способы задания множеств и операции над ними Hits:



ТЕСТЫ К ЭКЗАМЕНУ по учебной дисциплине ' Начертательная геометрия. Инженерная графика '
ИНФОРМАЦИОННЫЕ РЕСУРСЫ ДИСЦИПЛИНЫ
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛУ)
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла
РАБОЧИЕ И УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Механический смысл КРИ-2:
Решить симплексным методом задачу
 

Способы задания множеств и операции над ними

Множество может быть задано перечислением (списком своих элементов), порожд 737g64hh ающей процедурой или описанием характеристических свойств, которыми обладают его элементы.

Перечислением (списком) можно задавать лишь дискретные множества, т.е. конечные множества, содержащие конечное число элементов (обычно в фигурных скобках). Например, А = означает, что множество А состоит из 5-ти элементов а1 а5.



Порожд 737g64hh ающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже имеющихся либо из других объектов. Например, вычисление по

формуле является порожд 737g64hh ающей процедурой множества М всех чисел вида , где kN0 = .

Другой пример: порожд 737g64hh ающую процедуру для задания множества - всех целых чисел, являющихся степенями двойки можно, можно задать двумя так называемыми индуктивными или рекурсивными правилами:

1) 1;

2) если m, то 2m.

В случае, когда свойство элементов x множества М, т.е. (xM) может быть описано выражением F(x), означающим х обладает свойством F, то М задают с помощью записи М = . Например, предыдущее множество
= .

Распространенной порожд 737g64hh ающей процедурой является образование множеств из других множеств посредством операций над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение, декартово произведение.

Объединение М1М2 множеств М1 и М2 определяется как множество М, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств в М1 и М2.

Символически это записывается так:

М = М1М2 = .

Пересечение М1М2 есть множество S, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежат М1 и М2; символически:

S = М1М2 = .

Два множества М1 и М2 называются непересекающимися, если М1М2 = .

Разностью М1 - М2 (или М1 \ М2) называется множество Q, состоящее из всех тех элементов М1, которые не являются элементами М2, т.е.

Q = М1 - М2 = М1 \ М2 = .

В отличие от двух предыдущих операций разность определена только для двух множеств и некоммутативна, т.е. А\В В\А, если А\В = , то АВ.

Примеры: пусть M1 = , M2 = ,

тогда: M1M2 = = M;

M1M2 = = S;

M1 \ M2 = M1 - M2 = = Q;

M2 \ M1 = = Q1.

Если все рассматриваемые множества являются подмножеством некоторого универсального множества U, то определяется операция дополнения.

Дополнением (до U) множества А (обозначают ) называется множество всех элементов, не принадлежащих А (но принадлежащих U), т.е.

= U / A.

Например, если N1 - множество натуральных чисел, не превосходящих 100, то = N \ N1 - это множество натуральных чисел, больших 100.

Если a b, то множество называется неупорядоченной парой объектов a и b. При этом считают = и = a. Множество называется одноэлементным с элементом a.

Набор или кортеж объектов a1, a2, ... an обозначают через (a1, a2, ..., an) или <a1, a2, ..., an> как упорядоченную n-ку и называют вектором или упорядоченным набором длины n. Объект ai(a1, a2, ..., an) называется iкомпонентой (i = 1, 2, ..., n).

Набор (a1, a2, ..., ai-1, ai+1, ..., an), n 2, называется проекцией набора
(a1, a2, ..., an) вдоль оси ai.

Проекцией множества М наборов длины n (n 2) вдоль оси ai (i = 1, 2, ..., n) называется множество ПPаi М, состоящее из всех проекций вдоль оси ai наборов из М. Набор длины 2 обычно называют упорядоченной парой. Например, если М = , то ПPа1 М = , ПPа2 М = .

Прямым (декартовым) произведением множеств А и В (обозначение: АхВ) называется множество всех пар (a,b), таких, что aA, bB. В частности, при
А = В обе координаты принадлежат А, и такое произведение обозначают А2.



Аналогично прямым (декартовым) произведением множеств А1, А2, ..., Аn (обозначение: А1xА2x...xАn) называется множество всех векторов (а1, ..., аn) длины n, таких, что a1A1, ..., anAn,. При этом, когда А1 = А2 = ... = Аn, имеем А1xА2x ... xАn = Аn.

Примеры:

1) Пусть М1 = , М2 = , тогда = ;

М1 х М2 = ;

2) множество RxR = R2 - это множество действительных чисел, отвечающее точкам плоскости, точнее, пар вида (a,b), где a,bR и являются координатами точек плоскости;

3) если А = и В = , то АхВ = - множество, содержащее обозначения всех 64-х клеток шахматной доски.

Конечные множества, элементы которых являются символами (буквы, цифры, знаки операций, знаки препинания и т.п.), называют алфавитами. Например, элементы множества А = составляют некий алфавит, а элементы множества An = A6 называются словами длины n = 6 в алфавите А. Под словом в алфавите А понимают просто конечную последовательность символов алфавита А.



1.2.2. Отношения и функции

По определению принимают, что отношением называется любое множество пар. Если R - отношение, то говорят, что предметы x и y связаны отношением R при условии, что пара (x,y) есть элемент R и обозначают xRy. Следовательно,

xRy (x,y)R.

Если RMxN, то говорят, что отношение R определено между элементами множеств M и N, а если RMxМ - отношение R определено на множестве М.

 
Под n-местным (n = 1, 2, ...) отношением на множестве М понимают любое подмножество множества Mn = MxMx ... xM.


Обычно 3-местное отношение называют тернарным, а 2-местное - бинарным. Одноместное отношение на множестве М есть подмножество множества М и называется свойством на М. Примером бинарного отношения является отношение < (меньше) на множестве натуральных чисел N, состоящее из всех таких пар (x,y), что x < y. Например, пары (1,2), (2,3), (4,6) принадлежат этому отношению, а пара (5,2) не принадлежит.

Пусть j - бинарное отношение на множестве М.

Областью определения Dj (или dom(j)) отношения j называется множество всех таких a, что (a,b)j хотя бы при одном b, т.е. в символической записи:

Dj = .

Областью значений Rj (или rng(j)) отношения j называется множество всех таких b, что (a,b)j хотя бы при одном a, т.е.:

Rj = .

Множество Мj = Dj Rj называется областью задания отношения j.

Бинарное отношение j называется:

1) рефлексивным, если (a,a)j для любого aMj;

2) симметричным, если из (a,b)j следует (b,a)j;

3) транзитивным, если из (a,b)j и (b,c)j следует (a,c)j.

Например, отношение на множестве натуральных чисел рефлексивно и транзитивно, но не симметрично, а отношение < на этом же множестве только транзитивно.

Бинарное отношение, являющееся одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным, называется отношением эквивалентности.

Примеры отношений эквивалентности:

1) отношение подобия на множестве треугольников в плоскости;

2) отношение параллельности между прямыми на плоскости;



3) отношение xy (mod n), означающее тожд 737g64hh ественное равенство по модулю n, т.е. когда x и y - целые и x-y делится на фиксированное целое положительное число n так, что x-y = mn, где m также целое.

Отношение эквивалентности j на множестве М разбивает М на попарно непересекающиеся подмножества, каждое из которых есть класс эквивалентности по отношению j.

Например, в примере (1) каждый класс эквивалентности состоит из всех подобных между собой треугольников. а в примере (2) классы эквивалентности являются направлениями в данной плоскости.

Отношение R называется функциональным отношением, короче, функцией, если для любого x в R содержится не более одной пары (x,y) с первым элементом x. Формально это означает:

(x,y1)R (x,y2)R y1 = y2,

что называют условием униформности по второй координате. Другими словами, для любого x из области определения Df отношения f существует единственный элемент y такой, что (x,y)f. Элемент y называют значением функции f на аргументе x и обозначают через f(x), т.е. y = f(x), yRf - область значений f.

Например, целочисленная функция f(x) = x2+1 есть множество, состоящее из всех пар (a,a2+1), где aN.

Функции иначе еще называются отображениями. Отображение f обозначают f: X Y, что означает:

1) отображение множества X на множество Y (X на Y), если X = Df и
Y = Rf или сюръекция X на Y;

2) отображение (X в Y), если X = Df и Rf Y;

3) отображение (из X на Y), если Df X и Rf = Y;

4) отображение (из X в Y), если Df X и Rf Y.

Функция f(x1, x2, ..., xn), область определения Df которой состоит из наборов длины n, называется n-местной функцией (n = 1, 2, 3, ...).

Функция f от n аргументов, для которой Df = Mn, называется всюду определенной n-местной функцией на множестве М.

Функция f от n аргументов на множестве М, для которой DfMn, называется частичной n-местной функцией на М.

Например, f(x,y) = xy - всюду определенная функция на множестве целых чисел, а j(x,y) = x/y - частичная функция на этом множестве, т.к. a/0 - неопределенно.

Заметим, что пустое множество () есть нигде не определенная функция.

Отношение S -1 = называется обратным отношением к отношению S.

Отношение, обратное к функции, не всегда является функцией. Если f -1 - функция, то функция f называется биекцией или обратимой.

Функция f как бинарное отношение на М называется:

1) инъекцией или взаимно однозначной, если из f(a) = f(b) следует a = b;

2) константной, если Df = M и существует bM, что для любого xM f(x) = b;

3) тожд 737g64hh ественной, если для каждого xM f(x) = x;

4) отображением (М в М), если Df = Rf = M.

Примеры: 1) функция f(x) = x4, где x - произвольное целое число, есть отображение, но не инъективная, т.к. f(1) = f(-1);

2) функция f(x) = 2x+1, где x - произвольное целое число, является инъективной и отображением;

3) функция f(x) = 5, где x - произвольное целое число, является константной.

Для любых двух отношений R и S определяется их композиция



.

Под n-местной операцией на множестве М понимают отображение Mn в М.

Например, обычное сложение является бинарной операцией на множестве N = , а обычное вычитание - бинарной операцией на множестве целых чисел, но не натуральных.

Пусть даны функции f:AB и g:BC. Функция h:AC называется композицией функций f и g (обозначение ), если имеет место равенство
h(x) = g(f(x)), где xA. Композиция f и g представляет собой последовательное применение функций f и g, где g применяется к результату f. Говорят, что функция h получена подстановкой f в g.

Для многоместных функций f:AmB и g:BnC возможны различные варианты подстановки f в g, дающие функции различных типов.

Например, при m = 3, n = 4 функция h1 = g(x1, f(y1,y2,y3), x3, x4) имеет шесть аргументов и тип BxA3xB2 C, а функция h2 = g(f(y1,y2,y3), f(z1,z2,z3), x3, x4) имеет 8 аргументов и тип A8xB2 C.

В случае, когда задано множество функций типа f1:A, ..., fn:A, возможны, во-первых любые подстановки функций друг в друга, а во-вторых, любые переименования аргументов.

Функция, полученная из f1, ..., fn некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется суперпозицией f1, ..., fn.

Выражение, описывающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки и символы аргументов, называется формулой.

Примеры:

1) функция log2(x1+x2) + 3 arcsin x1 + x3 является результатом нескольких последовательных суперпозиций функций x1+x2, x2, log x, arcsin x, sin x, 3x;

2) в функции f1(x1,x2,x3) = x1 + 2x2 + 7x3 переименование x3 в x2 приводит к функции f1(x1,x2,x2) = x1 + 2x2 + 7x2, которая равна функции двух аргументов f2(x1,x2) = x1 + 9x2. Переименование x1 и x3 в x2 приводит к одноместной функции f3(x2) = 10x2.

Рассмотрим отношения порядка.

Отношение R называется антирефлексивным, если ни для какого aM не выполняется aRa. Например, отношение < и быть сыном антирефлексивны.

Отношение R называется антисимметричным, если из aiRaj и ajRai для любых i и j следует, что ai = aj.

Например, отношение антисимметричное, т.к. если a b и b a, то a = b.

Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Оба типа отношений именуются отношениями порядка.

Элементы a и b сравнимы по отношению порядка R, если выполняется aRb или bRa.

Множество М, на котором задано отношение порядка, называется полностью упорядоченным, если любые два элемента М сравнимы, и частично упорядоченным в противном случае. Так, на системе подмножеств множества М отношение выключения ͔ задает нестрогий частичный порядок, а отношение строгого включения ̔ задает строгий частичный порядок.

Например, 1) , а и не сравнимы;

2) отношение подчиненности на предприятии задает строгий частичный порядок, т.к. в нем несравнимыми являются сотрудники разных отделов.