Метод отражений решения системы уравнений
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Метод отражений решения системы уравнений

математике



Отправить его в другом документе Метод отражений решения системы уравнений Hits:



дтхзйе дплхнеофщ

Интегралы от периодических, нечетных и четных ф-ций
КОМБИНИРОВАНИЕ ИНСТРУМЕНТОВ ФИБОНАЧЧИ
IПТИМАЛЬНIЕ КIAИРIAАНИЕ
Указать grad U в точке M0
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Конвейерная система из трех машин (n | 3 | F | Fmax)
Геометрическое понятие - «пространство»
Нахождение значения U( *D) по интерполяционной формула Лагранжа
 

Метод отражений решения системы уравнений

Матрица отражения

Image3


Доказать, что ,


–ый шаг метода отражений

Предположим, что после  шага система  с помощью умножения слева на ортогональную матрицу приведена к виду , где

.

Тогда –ый шаг состоит из умножения системы  слева на ортогональную матрицу вращения :

,

где


если

или  ,



если

(здесь ,    – первый орт), 535b11hf



если

(здесь ).


Выполнив  шаг, получим систему с верхней треугольной матрицей:  (заметим, что, если , то и ).


Решение системы с вырожденной матрицей

–разложение с перестановками столбцов матрицы

1– ый шаг.

Определим номер столбца  матрицы  из условия

 и матрицу перестановок .

Для матрицы  определим матрицу отражения :

.

Доказать:

–ый шаг.

После  шага имеем

.

Определяем номер столбца  из условия

и для  определяем матрицу отражения :

.

Доказать: .

Ответ:

Если , то после  шагов имеем

,

где  и  – ортогональные матрицы.


Совместность системы с вырожденной матрицей

Система  называется совместной, если она имеет решение. Следовательно, система совместна  .

– общее решение системы, где – любое ее решение.


Теорема.

Если система  совместна (),

то  совместна система  и множества решений этих систем совпадают.


Система  несовместна, если .

В этом случае ее обобщенным решением (относительно векторной нормы ) называют вектор .

Доказать: общее решение совместной системы совпадает с множеством ее обобщенных решений.


Доказать: множество обобщенных решений  совпадает с общим решением системы .


Применение –разложения с перестановками столбцов для решения совместной системы

Выполним эквивалентное преобразование совместной системы :

.

Из–за ошибок округления эта система будет иметь вид:

,

где матрица  и вектор  должны иметь малые по модулю элементы. Заменяем их на нулевые матрицу и вектор (диагональные элементы матрицы  по модулю мажорируют все левее и ниже лежащие элементы, как только очередной диагональный элемент стал “намного” меньше предыдущего, то и остальные элементы почти нулевые):

,

очевидно, что общее решение этой системы определяется формулой

,

а решение исходной системы .