Центральные предельные теоремы
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Центральные предельные теоремы

экономика


Отправить его в другом документе Tab для Yahoo книги - конечно, эссе, очерк Hits: 603


дтхзйе дплхнеофщ

Анализ объема производства и продаж
“Грыжу” экономики следует “вырезать”
Ответ товарищу Ноткину, Александру Ильичу
Рынок ценных бумаг: структура, функции, участники
Понятие денежного обращения, его структура
Система показателей общественного воспроизводства
Что изучает теория конкуренции?
Теоретические основы международных экономических отношений
БИЗНЕС В МИРОХОЗЯЙСТВЕННОЙ CФEPE : НЕКОТОРЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ФOPМЫ
Фирмы-львы, фирмы-слоны и фирмы-бегемоты: плюсы и минусы гигантизма
 

Центральные предельные теоремы

            Простейший вариант Центральной предельной теоремы (ЦПТ) теории вероятностей таков.

            Центральная предельная теорема (для одинаково распределенных слагаемых). Пусть X1, X2,…, Xn, …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M(Xi) = m и дисперсиями D(Xi) = , i = 1, 2,…, n,… Тогда для любого действительного числа х существует предел

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.

            Эту теорему иногда называют теоремой Линдеберга-Леви [3, с.122].

            В ряде прикладных задач не выполнено условие одинаковой распределенности. В таких случаях центральная предельная теорема обычно остается справедливой, однако на последовательность случайных величин приходится накладывать те или иные условия. Суть этих условий состоит в том, что ни одно слагаемое не должно быть доминирующим, вклад каждого слагаемого в среднее арифметическое должен быть пренебрежимо мал по сравнению с итоговой суммой. Наиболее часто используется теорема Ляпунова.



            Центральная предельная теорема (для разнораспределенных слагаемых) – теорема Ляпунова. Пусть X1, X2,…, Xn, …– независимые   случайные величины с математическими ожиданиями M(Xi) = mi и дисперсиями D(Xi) = , i = 1, 2,…, n,… Пусть при некотором д>0 у всех рассматриваемых случайных величин существуют центральные моменты порядка 2+д и безгранично убывает «дробь Ляпунова»:

где

Тогда для любого действительного числа х существует предел

  (1)

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.

            В случае одинаково распределенных случайных слагаемых

и теорема Ляпунова переходит в теорему Линдеберга-Леви.

            История получения центральных предельных теорем для случайных величин растянулась на два века – от первых работ Муавра в 30-х годах 18-го века для необходимых и достаточных условий, полученных Линдебергом и Феллером в 30-х годах 20-го века.

            Теорема Линдеберга-Феллера. Пусть X1, X2,…, Xn, …, – независимые случайные величины с математическими ожиданиями M(Xi) = mi и дисперсиями D(Xi) = , i = 1, 2,…, n,… Предельное соотношение (1), т.е. центральная предельная теорема, выполнено тогда и только тогда, когда при любом ф>0

где Fk(x) обозначает функцию распределения случайной величины Xk.

            Доказательства перечисленных вариантов центральной предельной теоремы для случайных величин можно найти в классическом курсе теории вероятностей [2].

            Для прикладной статистики и, в частности, для нечисловой статистики большое значение имеет многомерная центральная предельная теорема. В ней речь идет не о сумме случайных величин, а о сумме случайных векторов.

             Необходимое и достаточное условие многомерной сходимости [3, с.124]. Пусть Fn обозначает совместную функцию распределения k-мерного случайного вектора , n = 1,2,…, и Fлn – функция распределения линейной комбинации . Необходимое и достаточное условие для сходимости Fn  к некоторой k-мерной функции распределения F состоит в том, что Fлn имеет предел для любого вектора л.

            Приведенная теорема ценна тем, что сходимость векторов сводит к сходимости линейных комбинаций их координат, т.е. к сходимости обычных случайных величин, рассмотренных ранее. Однако она не дает возможности непосредственно указать предельное распределение. Это можно сделать с помощью следующей теоремы.

            Теорема о многомерной сходимости. Пусть Fn и Fлn – те же, что в предыдущей теореме. Пусть F - совместная функция распределения k-мерного случайного вектора . Если функция распределения Fлn сходится при росте объема выборки к функции распределения Fл для любого вектора л, где Fл – функция распределения линейной комбинации , то Fn сходится к F.

            Здесь сходимость Fn к F означает, что для любого k-мерного вектора  такого, что функция распределения F непрерывна в , числовая последовательность Fn сходится при росте n к числу F. Другими словами, сходимость функций распределения понимается ровно также, как при обсуждении  предельных теорем для случайных величин выше. Приведем многомерный аналог этих теорем.




            Многомерная центральная предельная теорема [3]. Рассмотрим независимые одинаково распределенные  k-мерные случайные вектора

где штрих обозначает операцию транспонирования вектора. Предположим, что случайные вектора Un имеют моменты первого и второго порядка, т.е.

М(Un) = м, D(Un) = У,

где  м – вектор математических ожиданий координат случайного вектора, У – его ковариационная матрица. Введем последовательность средних арифметических случайных векторов:

Тогда случайный вектор  имеет асимптотическое k-мерное нормальное распределение , т.е. он асимптотически распределен так же, как k-мерная нормальная величина с нулевым математическим ожиданием, ковариационной У и плотностью

Здесь |У| - определитель матрицы У. Другими словами, распределение случайного вектора  сходится к k-мерному нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей У.

            Напомним, что многомерным нормальным распределением с математическим ожиданием м и ковариационной матрицей У называется распределение, имеющее плотность

            Многомерная центральная предельная теорема показывает, что распределения сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов при большом числе слагаемых хорошо приближаются с помощью нормальных распределений, имеющих такие же первые два момента (вектор математических ожиданий координат случайного вектора и его корреляционную матрицу), как и исходные вектора. От одинаковой распределенности можно отказаться, но это потребует некоторого усложнения символики. В целом из теоремы о многомерной сходимости вытекает, что многомерный случай ничем принципиально не отличается от одномерного.

            Пример. Пусть X1, … Xn ,…– независимые одинаково распределенные случайные величины. Рассмотрим k-мерные независимые одинаково распределенные случайные вектора

Их математическое ожидание – вектор теоретических начальных моментов, а ковариационная матрица составлена из соответствующих центральных моментов. Тогда - вектор выборочных центральных моментов. Многомерная центральная предельная теорема утверждает, что  имеет асимптотически нормальное распределение. Как вытекает из теорем о наследовании сходимости и о линеаризации (см. ниже), из распределения  можно вывести распределения различных функций от выборочных начальных моментов. А поскольку центральные моменты выражаются через начальные моменты, то аналогичное утверждение верно и для них.