Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники

Гармониче 141e45bb 89;кий осциллятор. Пружинный, физиче 141e45bb 89;кий и математиче 141e45bb 89;кий маятники

Гармониче 141e45bb 89;ким осциллятором называется система, совершающая колебания, описыва╜емые уравнением вида (140.6);

══════════════════════════════════════════════════════ (142.1)

Колебания гармониче 141e45bb 89;кого осциллятора являются важным примером периодиче 141e45bb 89;кого движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классиче 141e45bb 89;╜кой и квантовой физики. Примерами гармониче 141e45bb 89;кого осциллятора являются пружин╜ный, физиче 141e45bb 89;кий и математиче 141e45bb 89;кий маятники, колебательный контур (для токов и на╜пряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см. ╖146).

1. Пружинный маятник ≈ это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармониче 141e45bb 89;кие колебания под действием упругой силы F = √kx, где k ≈ жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармониче 141e45bb 89;╜кие колебания по закону х=А соs (w₀t + j) с цикличе 141e45bb 89;кой частотой

═════════════════════════════════════════════════════ (142.2)

и периодом

══════════════════════════════════════════════════ (142.3)

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняет╜ся закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

2. Физиче 141e45bb 89;кий маятник ≈ это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соот╜ветствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент M возвращающей силы можно записать в виде

══════════════════════════════════════ (142.4)

где J ≈ момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подве╜са О, l √ расстояние между ней и центром масс маятника, F_t= √mg sina ╩ √mga. ≈ возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F_t и a всегда противоположны; sina ╩a соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (142.4) можно записать в виде

Принимая

═══════════════════════════════════════════════════════════ (142.5)

получим уравнение

идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:

══════════════════════════════════════════════════════ (142.6)

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физиче 141e45bb 89;кий маятник совершает гармониче 141e45bb 89;кие колебания с цикличе 141e45bb 89;кой частотой w₀ (см. (142.5)) и периодом

═══════════════════════════════════════════ (142.7)

где L=J/(ml) ≈ приведенная длина физиче 141e45bb 89;кого маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физиче 141e45bb 89;кого маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), получим

т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса

станет новым центром качаний, и период колебаний физиче 141e45bb 89;╜кого маятника не изменится.

3. Математиче 141e45bb 89;кий маятник ≈ это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеб╜лющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математиче 141e45bb 89;кого маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математиче 141e45bb 89;кого маятника

════════════════════════════════════════════════════════════ (142.8)

где l ≈ длина маятника.

Так как математиче 141e45bb 89;кий маятник можно представить как частный случай физиче 141e45bb 89;╜кого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке ≈ центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (1417), получим выражение для периода малых колебаний математиче 141e45bb 89;кого маятника

══════════════════════════════════════════════════════ (142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L физиче 141e45bb 89;╜кого маятника равна длине l математиче 141e45bb 89;кого маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физиче 141e45bb 89;кого маятника ≈ это длина такого математиче 141e45bb 89;кого маятника, период колебаний которого совпадает с пери╜одом колебаний данного физиче 141e45bb 89;кого маятника.