Проблема собственных значений
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Администрация
Механический Электроника
биологии
география
дом в саду
история
литература
маркетинг
математике Физика информатики химия
медицина
музыка
образование
психология
разное
художественная культура
экономика





















































Проблема собственных значений

математике



Отправить его в другом документе Tab для Yahoo книги - конечно, эссе, очерк Hits: 1356



дтхзйе дплхнеофщ

Дифференцируемость ф-ций нескольких переменных
СООТВЕТСТВИЯ. ФУНКЦИИ. ОТНОШЕНИЯ. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Интегрирование элементарных дробей
Идеология пространственной бесконечности
Линейная зависимость и независимость векторов. Базисы на плоскости и в пространстве. Прямоугольная декартова система координат
Построение исчисления предикатов
Теоремы о проекциях вектора
Сложные события
Введение в плотностную rn-мерность
Падение тел в плотностном пространстве
 

Проблема собственных значений

Для матрицы  нужно найти числа  и ненулевые векторы  такие, что :  – собственное значение,  – собственный вектор.

Корректность задачи на собственные значения

Известно, что все собственные значения матрицы  являются корнями характеристического полинома

                     ,

а коэффициенты  – непрерывные функции элементов матрицы .

Пусть  – матрица с “малыми” по величине элементами,  – характеристический полином матрицы . Следствием непрерывности  как функции элементов матрицы  является

Лемма 1. .

Лемма 2.

В любом круге на комплексной плоскости с центром в точке  и радиуса  лежит хотя бы один корень полинома .

Док–во.

Разложим  в ряд Тейлора в точке :

, где .

Пусть  – корни полинома , среди которых корень с минимальной абсолютной величиной имеет номер .

Так как ,  то  (корень полинома ) лежит в круге радиуса .

Лемма 3.

Если  – корни полинома , то  нумерация корней  полинома :     при .

Док–во

методом матиндукции по степени полинома.

.

Пусть лемма верна при .

: из леммы 2 .

Т.к.

и , то .


Степенной метод вычисления максимального собственного значения матрицы

Идея метода: для заданного вектора  рассмотрим его –ю итерацию ,

                           если  – собственные значения,

                            – соответствующие им собственные векторы, то

                           где  – коэффициенты (неизвестные!)

                           разложения вектора  по базису .

Итерационный процесс

                                  

называется степенным методом вычисления максимального собственного значения матрицы :

,     ,

если проекция начального вектора  на линейную оболочку собственных векторов, соответствующих , не равна 0.

Док–во.    Пусть  – собственные значения,

                   – собственные векторы матрицы , и

                 

                  Тогда  и,

                  т.к. ,

                  то ,

                  .

Замечание. Сходимость степенного метода не зависит от выбора в нем векторной нормы, т.к. все нормы в  эквивалентны.


Степенной метод вычисления минимального собственного значения матрицы

Задача вычисления минимального собственного значения матрицы  легко сводится к задаче вычисления максимального собственного значения матрицы , где , так как .

Оценку для  легко найти: . Тогда

итерационный процесс

                     

называется степенным методом вычисления минимального собственного значения матрицы ,

если проекция начального вектора  на линейную оболочку собственных векторов, соответствующих , не равна 0.

Справедливость этого утверждения является следствием сходимости степенного метода вычисления спектрального радиуса матрицы .

Применение ортогонализации и степенного метода для вычисления очередного собственного значения

Предположим, что собственное значение  и соответствующий ему собственный вектор (какой–то!)  матрицы  мы приближенно (например степенным методом) вычислили: , .

Построим симметричную положительно определенную матрицу , где матрица  – ортогональный проектор на подпространство , ортогональное вектору .

Докажите, что спектр матрицы  (т.е. , ) состоит из собственных значений  матрицы  и нуля (вектор  принадлежит ее ядру).

Отсюда следует, что, если  (а степенной метод такую сходимость гарантирует), то .

Следовательно, применяя степенной метод для матрицы , мы получим приближение к  и  – очередным собственным значению и вектору матрицы .

Эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока мы не получим все собственные значения.