МАТРИЦЫ
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Администрация
Механический Электроника
биологии
география
дом в саду
история
литература
маркетинг
математике Физика информатики химия
медицина
музыка
образование
психология
разное
художественная культура
экономика





















































МАТРИЦЫ

математике



Отправить его в другом документе Tab для Yahoo книги - конечно, эссе, очерк Hits: 697



дтхзйе дплхнеофщ

Интегралы от периодических, нечетных и четных ф-ций
Механический смысл КРИ-2:
Частные показатели
Метод отражений решения системы уравнений
Использование равносильностей для упрощения формул
Контрольная работа по теме «Сложение и вычитание обыкновенных дробей»
Среднее квадратическое отклонение
ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В MATHCAD
Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Компоненты вектора.
 

МАТРИЦЫ

      1. Операции над матрицами, их свойства.

      Рассмотрим Мт,п(Р) - множество (т,п)-матриц с элементами из поля Р. Определим на Мт,п(Р) структуру линейного пространства.

I. Для А, ВÎ Мт,п(Р), А= (аi,j)i=1,…,m; j=1,…,n, В= (аi,j)i=1,…,m; j=1,…,n , пусть  А + В = С Î Мт,п(Р),  С = (сi,j)i=1,…,m; j=1,…,n, где



сi,j= аi,j+ bi,j. Так определяется операция сложения матриц. Теперь определим операцию умножения матрицы на элемент поля. Для  АÎ Мт,п(Р), А= (аi,j)i=1,…,m; j=1,…,n, a Î Р  пусть

aА = (aаi,j)i=1,…,m; j=1,…,n .

II. Упражнение. Проверить, что для определенных нами операций выполняются 8 свойств линейного пространства.

      Замечание. Выполнение восьми свойств линейного пространства можно не проверять, если записывать элементы матрицы в одну строчку длины тп (как в ЭВМ). Можно себе представить, что такие д 535h73ff линные строчки на листе бумаги не помещаются и их приходится разбивать на куски длины п и записывать в таблицу (матрицу). Но операции для матриц (длинных строчек) определены нами так же, как и ранее для строк из Рп в 7.1. Отсюда и следует выполнение восьми свойств для этих операций. Следовательно, можно считать доказанным, что множество (т,п)-матриц является линейным пространством размерности  тп, и это пространство изоморфно Р тп. Как и в 7.2 (см. Теорему 5) естественным базисом в Р тп будет семейство матриц Ei,j , i=1,…,m; j=1,…,n, где  Ei,j - матрица, у которой (i,j)-й элемент равен 1, а все остальные элементы равны 0. 

      Теперь рассмотрим Мп(Р) – множество квадратных  (п,п)-матриц. Как мы только что видели, Мп(Р) – линейное пространство размерности п2. Покажем, что Мп(Р) является также АУ-кольцом.

I. Операции сложения и умножения матриц у нас уже определены.

II. Первые 4 свойства из определения кольца (для операции сложения) такие же, как и для линейного пространства, и выполняются в общем случае для прямоугольных (а не только квадратных) матриц. Свойства 5, 6, 9 из определения кольца также выполняются (см. упражнение 1 из 8.4).

      Упражнение. Доказать, что " А, ВÎ Мп(Р), "a Î Р  выполняется свойство (aА)В = А(aВ) = a(АВ).

      Определение. Множество А называется алгеброй над полем Р, если А является кольцом и линейным пространством над Р, и, кроме того, выполняется свойство (aа)b = a(ab) =  = a(ab" a, bÎ A,  "a Î Р .

      Подводя итог в 1, можно сказать, что нами доказана

      Теорема. Множество квадратных матриц Мп(Р) является алгеброй над полем Р.

      2. Элементарные матрицы.

      В соответствии с определением элементарных преобразований I-го, II-го и III-го типа над строками или столбцами матрицы определим элементарные матрицы I-го, II-го и III-го типа.

      Определение. Элементарной матрицей I-го типа называется (п,п)-матрица Рi,j(с) = Е + сEi,j , i ¹ j.

Элементарной матрицей II-го типа называется (п,п)-матрица Рi,j= E1,1+E2,2+…+ Ei-1,i-1+ Ei,j+ Ei+1,i+1+…+Ej-1,j-1+Ej,i+Ej+1,j+1+

+…+ En,n = E - Ei,i - Ej,j + Ei,j + Ej,i , при i ¹ j.

Элементарной матрицей III-го типа называется диагональная (п,п)-матрица Рi (c) = diag(1,1,…,c,…,1) =

= E1,1 + E2,2 + … + cEi,i + … + En,n = Е + (с – 1)Ei,i , где с ¹ 0.

      Упражнения.

1. Проверить, что при умножении произвольной (п,т)- матрицы А слева на элементарную (п,п)-матрицу Рi,j(с) у матрицы А к i-й строке прибавляется  j-я строка с коэффициентом с, при умножении А слева на Рi,j  у матрицы А меняются местами i-я и  j-я строки, при умножении А слева на Рi (с) у матрицы А i-я  строка умножается на с ¹ 0. Таким образом, при умножении матрицы А слева на элементарную   матрицу  s-го  типа  (s = I, II, III) над строками матрицы  А происходит элементарное преобразование того же s-го типа.

2. Проверить, что при умножении произвольной (т,п)- матрицы А справа на элементарную (п,п)-матрицу Рi,j(с) у матрицы А к j-му столбцу прибавляется i-й столбец с коэффициентом с, при умножении А справа на Рi,j  у матрицы А меняются местами i-й и  j-й столбцы, при умножении А справа на Рi (с) у матрицы А i-й  столбец умножается на с . Таким образом, при умножении матрицы А справа на элементарную   матрицу  s-го типа над столбцами  матрицы А происходит элементарное преобразование того же s-го типа.

      3. Определитель произведения матриц.

      Теорема. Пусть А, ВÎ Мп(Р). Тогда |A×B| = |A|× |B|.

      Доказательство. С помощью элементарных преобразований I-го и II-го типа над строками матрицы А (см. Теорему из 4.2) приведем её к ступенчатому виду: А. Каждому ЭП над строками матрицы соответствует умножение этой матрицы на соответствующую элементарную матрицу слева. Таким образом, существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Pk  такие, что PkР2Р1А = . Очевидно,

|| = (-1)s|A|, где s – количество элементарных матриц  II-го типа среди Р1, Р2 ,…,Pk .  Рассмотрим два случая.

1. |A| = 0. Тогда последняя строка матрицы  - нулевая, и значит, последняя строка матрицы В – также нулевая. Следовательно, 0 = |В| = |PkР2Р1АB| = (-1)s|AB| Þ |AB| = 0 = =|A|× |B|. В этом случае утверждение доказано.

2. |A| ¹ 0. В этом случае последняя строка матрицы  - ненулевая, и матрица  - треугольная. Далее как в 4.4, начиная с последней строки, с помощью только ЭП-I над строками можно сделать над каждым диагональным элементом нули, то есть получить диагональную матрицу D = diag(d1,…,dn):



D. Значит, существуют элементарные матрицы I-го типа Q1, Q2,…,Qt  такие,  что QtQ2Q1 = D,

QtQ2Q1PkР2Р1А= D, и |A|= (-1)s||= (-1)s|D|=(-1)sd1,…,dn. Но при умножении матрицы В на D слева 1-я строка матрицы В умножается на  d1, 2-я строка матрицы В умножается на  d2 и т.д., то есть |DB| =d1,…,dn|B| =|D||B|.  Следовательно,  

|AB|=(-1)s|QtQ2Q1PkР2Р1АB|=(-1)s|DB|=(-1)s|D||B| =|A||B|.

Таким образом, в случае 2 утверждение также доказано.

                                                                                         ÿ

Лекция 1

      4. Обратная матрица.

      Утверждение. Пусть А - (т,п)-матрица, В - (п,k)-матрица. Тогда (АВ) t = В tА t.

      Доказательство. Заметим, что произведение ВtАt определено, так как В t - (k,п)-матрица, а А t - (п,т)-матрица. Кроме того  (АВ) t и В tА t – матрицы одного типа.

Очевидно, (i,j)-й элемент матрицы (АВ)t равен ((АВ)t)i,j= =(АВ)j,i = Аj×Вi = (j-я строка матрицы А)×(i-й столбец матрицы В) = (В t)i×t)j = (i-я строка матрицы В t)×(j-й столбец матрицы А t) = (В tА t)i,j.

                                                                                         ÿ

      В 8.4 мы доказали, что если левая и правая обратные матрицы для (п,п)-матрицы А существуют, то они совпадают.

      Теорема. А-1  $  Û |A| ¹ 0.

      Доказательство. Þ. Пусть  А-1= В $. Тогда АВ = Е Þ |АВ| =|А||В| = |E| = 1 Þ |A| ¹ 0.

Ü . Пусть |A| ¹ 0. Найдем правую обратную матрицу Х такую, что АХ = Е. Столбцы матрицы Х обозначим Х1, Х2,…,Хп, а столбцы матрицы Е обозначим Е1, Е2,…,Еп. Тогда из уравнения АХ = Е,  записывая матрицы X и E  через столбцы, получим уравнение А×( Х1, Х2,…,Хп) = (Е1, Е2,…,Еп), или

 (А×Х1, А×Х2,…, А×Хп) = (Е1, Е2,…,Еп) Þ А×Х i = Е i  " i . Так как  |A| ¹ 0, то по правилу Крамера решение Х i  " i существует и единственно. Таким образом, доказано, что правая обратная матрица для А существует и единственна. Аналогично можно доказывать существование левой обратной матрицы. Но можно поступить иначе. Так как |A t| = |A| ¹ 0, то для At по доказанному существует правая обратная матрица Y, то есть AtY = Е Þ (AtY) t = Е t= Е Þ Y tAtt= Е Þ Y tA= Е Þ Y tлевая обратная матрица для А.

                                                                                         ÿ

      Далее мы найдем, какой вид имеет обратная матрица.

      Рассмотрим уравнение для i-го столбца обратной матрицы  А×Х i = Е i из доказательства предыдущей теоремы. Так как  Е i= - здесь 1 находится на i-м месте,  Х i =, то по правилу Крамера  хki = Dk / |A|,   k = 1,…,п, где Dk - определитель, полученный из определителя |A| заменой k-го столбца на Еi. Из разложения Dk  по k-му столбцу получим, что Dkik – алгебраическое дополнение к (i,k)-му элементу в |A|. Значит,  хki = Аik/|A|,   i, k = 1,…,п.  Матрица   А* = (aki), где

aki = Аik, называется присоединенной матрицей к А. Таким образом, нами доказана

      Теорема. Если |A| ¹ 0, то А-1 $,  и  А-1=(1/|A|)×А*.

      Упражнение. Проверить, что А×А*=А*× А = |A|×E при любом |A|.




      5. Решение матричных уравнений.

      Рассмотрим матричное уравнение АХ = В, где А – (п,п)-матрица с |A| ¹ 0, В - (п,т)-матрица, а  Х – неизвестная (п,т)-матрица. Покажем, что существует единственное решение этого уравнения.

      1. Пусть решение Х0  $, то есть АХ0= В. Тогда А-1АХ0-1В  Þ Х0 = А-1В  - это означает единственность решения.

      2. Подставим Х0 = А-1В  в наше уравнение. Получим

А(А-1В) = АА-1В = ЕВ = В, то есть Х0 = А-1В  является решением уравнения. Это означает существование решения.

      Покажем, как на практике можно решать матричные уравнения. Как мы видели в 3 при |A| ¹ 0 существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Рr  такие,  что PrP2P1A = D = =diag(d1,…,dn). Умножая это равенство слева на элементарные матрицы III-го типа P1(d1 -1), P2(d2 -1),…,Pп(dп -1), получим

P1(d1 -1)P2(d2 -1)…Pп(dп -1)PrP2P1A = Е. Таким образом, мы видим, что существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Рq  такие,  что PqP2P1A = E. Следовательно, PqP2P1 = А-1. Отсюда можно получить два вывода.

1. А-1= PqP2P1E, то есть для нахождения обратной матрицы надо над строками матрицы Е проделать те же ЭП, что проделывались над строками матрицы А при приведении её к единичной матрице Е. На практике это делают так: записывают матрицу вида (А|Е), и над «длинными» строками этой матрицы делают ЭП так, чтобы слева получилась матрица Е. Тогда справа получится матрица А-1.

2. Для матричного уравнения АХ =В  решение Х0 = А-1В =    =PqP2P1В. Значит, для нахождения Х0 надо над строками матрицы В проделать те же ЭП, что проделывались над строками матрицы А при приведении её к единичной матрице Е. То есть над «длинными» строками матрицы (А|В) надо делать ЭП так, чтобы слева получилась матрица Е. Тогда справа получится матрица  А-1В.

      Теперь рассмотрим матричное уравнение  YA = В, где  А –

(п,п)-матрица с |A| ¹ 0, В - (т,n)-матрица, а  Yнеизвестная (т,n)-матрица. Как и ранее, можно показать, что существует единственное решение Y= BA-1 этого уравнения. На практике решать такие матричные уравнения можно двумя способами. 1-й способ – это транспонировать наше уравнение:

(YA)t = AtY t = В t, найти, как и ранее, с помощью ЭП над «длинными»  строками решение X матричного уравнения  AtХ = В t, и затем получить Y = Х t.

2-й способ заключается в следующем. Матрицу А с |A|¹ 0 можно привести к единичной не только элементарными преобразованиями над строками, но также и аналогичным образом элементарными преобразованиями над столбцами. То есть существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Рt  такие,  что  AP1P2Pt = E. Следовательно,  P1P2Pt = А-1, и

А-1= EP1P2Pt , то есть для нахождения обратной матрицы надо над столбцами матрицы Е проделать те же ЭП, что проделывались над столбцами матрицы А при приведении её к единичной матрице Е. На практике это делают так: записывают матрицу вида , и над «высокими» столбцами этой матрицы делают ЭП так, чтобы сверху получилась матрица Е. Тогда снизу получится матрица А-1.

      Для матричного уравнения  YA = В  решение Y = BA-1 =P1P2Pt  получается проделыванием над столбцами матрицы В тех же ЭП, которые проделывались над столбцами матрицы А при приведении её к единичной матрице Е. На практике это делают так: записывают матрицу вида , и над «высокими» столбцами этой матрицы делают ЭП так, чтобы сверху получилась матрица Е. Тогда снизу получится матрица ВА-1.

      6. Ранг произведения матриц.

      Теорема. Пусть А – (т,п)-матрица, В - (п,k)-матрица. Тогда rg(AB) £ min(rgA, rgB).

      Доказательство. Пусть А1, А2,…,Ап столбцы матрицы А,  

А = (А1, А2,…,Ап). Тогда  rgA = dim<А1, А2,…,Ап>. Пусть сначала  В = В1 – (п,1)- матрица-столбец, В=. Тогда

АВ1=a1А1+a2А2+…+aпАп - (п,1)- матрица-столбец, и

АВ1Î <А1, А2,…,Ап>.

      Теперь для произвольной (п,k)-матрицы В, записанной по столбцам,  В =(В12,…,Вk), имеем АВ = (АВ1,…, АВп). Так как все АВi Î <А1, А2,…,Ап>, то <АВ1,…, АВп>Î <А1, А2,…,Ап>, и dim<АВ1,…, АВп> £  dim <А1, А2,…,Ап>, то есть rg(АВ) £ rg A. Неравенство  rg(АВ) £ rg В можно доказать аналогично, рассматривая линейную оболочку строчек матрицы В. А можно получить из доказанного следующим образом:

rg(АВ)= rg(АВ)T = rg(BTAT) £  rgBT = rgB.