ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Администрация
Механический Электроника
биологии
география
дом в саду
история
литература
маркетинг
математике Физика информатики химия
медицина
музыка
образование
психология
разное
художественная культура
экономика




















































ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ

математике


Отправить его в другом документе Tab для Yahoo книги - конечно, эссе, очерк Hits: 809


дтхзйе дплхнеофщ

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛУ)
Математическая логика и теория алгоритмов
ВОЛHОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЛИОТТА В КРАТКОМ ИЗЛОЖЕHИИ
Интегрирование тригонометрических функций
Формула Стокса
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Геометрическое понятие - «пространство»
Основные логические операции и их свойства
Семантика исчисления предикатов
Прямоугольный параллелепипед
 

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ

В случае параметрических гипотез класс F допустимых распределений имеет вид F=. Функции этого класса находят в соответствии со значениями вещественного параметра  из некоторого параметрического множества , т.е. гипотезы относятся к неизвестным параметрам распределения и называются параметрическими. В общем случае параметрическая гипотеза задается указанием некоторого подмножества , элементом которого, по предположению, является неизвестная параметрическая точка , т.е. . Альтернативная гипотеза имеет вид ; точки , называют альтернативами. Если множество  или  состоит из одной точки, то соответствующая гипотеза называется простой, в противном случае - сложной.



Пусть имеется выборка X = (Х1,..., Хn) из распределения , о котором сформулирована некоторая, гипотеза . Нужно построить такое правило (критерий), которое позволяло бы для каждой реализации х выборки X принять или отклонить . Тем самым каждому критерию соо 525d36gf тветствует разбиение векторного пространства х на два множества х0 и , где  состоит из точек х, для которых гипотеза  принимается, а  - из точек, для которых  отвергается. Множество  называется областью принятия гипотезы , а  - областью ее отклонения, или критической областью. Если выбрана критическая область , то критерий можно сформулировать следующим образом: пусть  - наблюдавшаяся реализация выборки X; тогда при  гипотеза  отвергается (принимается альтернативная гипотеза ), если же , то гипотеза  принимается. Этот критерий для кратности называется критерием .

В процессе проверки гипотезы  можно прийти к правильному решению или совершить ошибку первого рода - отклонить , когда она верна, или ошибку второго рода - принять , когда она ложна, т.е. ошибка первого рода возникает, если точка  попадает в критическую область , в то время, как верна , а ошибка второго рода – когда , но гипотеза  не верна. Вероятности этих ошибок можно выразить через функцию мощности критерия:

, .

Вероятность ошибки первого рода будет ,  и второго рода , . Иногда вероятности ошибок записываются в символическом виде:  - вероятность ошибки первого рода и  - вероятность ошибки второго рода. Желательно провести проверну гипотезы так, чтобы минимизировать вероятности обоих типов ошибок, но поскольку этого, вообще говоря, сделать нельзя, поступают следующим образом: при заданном числе испытаний n устанавливается граница для вероятности ошибки первого рода и при этом выбирается та критическая область , для которой вероятность ошибки второго рода минимальна. Таким образом, выбирается  и при условии  для всех  минимизируется  для всех  за счет выбора . Величина  называется уровнем значимости, а тот факт, что критерий  имеет уровень значимости  обозначают .

Если для некоторого критерия  выполняются неравенства  и  для всех возможных критериев , то  называется равномерно наиболее мощным (р.н.м.) критерием для проверки гипотезы .

Обычно критическая область задается с помощью некоторой статистики Т(Х) и имеет, как правило, следующий вид:  или  или . Функция наблюдений Т(Х) называется в этом случае статистикой критерия.

В случае выбора из двух простых гипотез, т.е. ,  и  эффективно применение критерия Неймана-Пирсона. Пусть соответствующие функции распределения  и  абсолютно непрерывны и плотности  и  строго положительны. Рассмотрим статистику отношения правдоподобия

и определим функцию . Функция  обладает следующими свойствами:  при , . Тогда существует наиболее мощный критерий проверки гипотез . Этот критерий задается критической областью

,

где критическая граница определяется из условия  и называется критерием Неймана-Пирсона.

Критерий называется несмещенным, если одновременно с условием  для всех  выполняются условия  для всех . Критерий Неймана-Пирсона является также и несмещенным.

Пример 13. Пусть случайная величина  имеет нормальное  распределение с известной дисперсией. Проверить гипотезы:  и , где .

Если X=(Х1, . . . , Хn) - выборка из  и х реализация Х, то

и неравенство  эквивалентно неравенству

,

которое можно записать в виде

.

Так как , то отсюда имеем

.

Функция  является непрерывной и для любого  однозначно определена величина , где , а .

Следовательно, наиболее мощный критерий для проверки гипотезы  против альтернативы  задается в данном случае критической областью

, .

При этом статистикой критерия является выборочное среднее Х, а критическая область не зависит от конкретного значения альтернативы . Вычислим мощность критерия. Так как , то



.

В частности, отсюда получается несмещенность:

.

Аналогично, при  наиболее мощный критерий имеет вид

,

а его мощность

.

Вероятность ошибки критерия при

.

Пусть проверяется простая гипотеза  против сложной . Построим для каждой фиксированной альтернативы  критерий Неймана-Пирсона  (рис. 3). Если критерий  не зависит от , то это означает, что он является р.н.м. критерием и обозначается . Как правило, р.н.м. критерии существуют только для односторонних сложных альтернатив, т.е. при скалярном параметре  либо , либо .

Рис. 3

Пример 14. Пусть семейство допустимых распределений задается плотностью

,

т.е. здесь . Проверить простую гипотезу  против альтернативы .

Следуя общему принципу, зафиксируем некоторую альтернативу  и построим критерий Неймана-Пирсона против этой альтернативы:

Обозначим . Неравенство  эквивалентно неравенствам . При гипотезе  событие  имеет вероятность I, поэтому, определив  из условия

,

получим, что критерий Неймана-Пирсона имеет вид:

 либо

и не зависит от альтернативы , следовательно, он является р.н.м. критерием для всего класса альтернатив .

Одним из наиболее универсальных методов построения критериев сложных гипотез является метод отношения правдоподобия. Для проверки гипотезы  против альтернативы  вводим статистику отношения правдоподобия

и критическую область задаем в виде

.

Критическую границу С выбираем так, чтобы критерий имел заданный уровень значимости

для всех .

Данный критерий называют критерием отношения правдоподобия (к.о.п.) для проверки гипотезы .

Пример 15. С помощью к.о.п. проверить гипотезу  в нормальной  модели с обоими неизвестными параметрами.

Здесь  - полуплоскость

 - полупрямая.

Как известно, оценка максимального правдоподобия, при которой достигается максимум функции правдоподобия, существует для нормального распределения и равна . Тогда

где  - о.м.п. для дисперсии  при гипотезе . Так как , то отсюда находим:

,

где

.

Таким образом, между значениями  и t2 существует взаимно однозначное соответствие. Отсюда следует, что неравенство  эквивалентно неравенству . Статистика t(х) имеет распределение Стъюдента с n-1 степенью свободы, не зависящее от параметра . При заданном уровне значимости  можно рассчитать границу с' и получить следующий критерий:

где  –  – квантель распределения Стъюдента с n степенями свободы.

Задачи к теме 5

1. В последовательности независимых испытаний вероятности положительных исходов одинаковы и равны Р. Построить критерий проверки гипотезы  против альтернативы  и определить наименьший объем выборки, для которого вероятности ошибок первого и второго рода не превосходят 0,01.

2. Пусть X=(X1,…,Xn) – выборка из экспоненциального распределения с параметром . Построить критерий Неймана-Пирсона проверки гипотезы  против альтернативы . Найти функцию мощности этого критерия.

3. Пусть для пуассоновской случайной величины проверяется гипотеза , где  – параметр распределения Пуассона против сложной альтернативы . Показать, что р.н.м. критерий задается критической областью вида . Вычислить функцию мощности критерия и показать его несмещенность. Установить, что при большом объеме выборки n критическая граница  с уровнем значимости  может быть выбрана равной

.

Рассмотреть альтернативу вида .