Сложные события
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Администрация
Механический Электроника
биологии
география
дом в саду
история
литература
маркетинг
математике Физика информатики химия
медицина
музыка
образование
психология
разное
художественная культура
экономика





















































Сложные события

математике



Отправить его в другом документе Tab для Yahoo книги - конечно, эссе, очерк Hits: 1080



дтхзйе дплхнеофщ

ТЕСТЫ К ЭКЗАМЕНУ по учебной дисциплине ' Начертательная геометрия. Инженерная графика '
Предел функции нескольких переменных
Алгебра 11 класс. Тема: ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. НАЧАЛА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.
Прямые методы решения линейных уравнений - Метод исключения Гаусса – схема единственного деления
Дифференциал функции двух переменных
Элементы математической логики
по специальным разделам математического анализа
Метод отражений решения системы уравнений
Определение функции распределения и ее свойства
 

Сложные события.

Теория сложных событий позволяет по вероятностям простых событий определять вероятности сложных. Она базируется на теоремах сложения и умножения вероятностей.

1)                  Суммой (объединением) двух событий А и В называется новое событие А+В, заключающееся в проявлении хотя бы одного из этих событий.

2)                  Произведением (пересечением) двух событий А и В называется новое событие АВ, заключающееся в одновременном проявлении обоих событий. А*В=АВ, АА=А, АВА=АВ.

3)                  Событие А влечет за собой появление события В, е 858g69ji сли в результате наступления события А всякий раз наступает событие В. АÌВ

А=В:  АÌВ, ВÌА

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления другого.

Если события несовместны, то АВ=Æ.



События А1, А2, …Аn образуют полную группу событий в данном опыте, если они являются несовместными и одно из них обязательно происходит:

AiAj=Æ (i¹j, i,j=1,2…n)

A1+A2+…+An=W

- событие противоположное событию А, если оно состоит в не появлении события А.

А и  - полная группа событий, т.к. А+=W,  А=Æ.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей событий:

Р(А+В+С+…) = Р(А) + Р(В) + Р(С) +…

Следствие. Если события A1+A2+…+An  - полная группа событий, то сумма их вероятностей равна 1.

P(A+) = P(A) + P() = 1

Вероятность наступления двух совместных событий равна:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС)

Теорема. Если АÌВ, то Р(А) £ Р(В).

В=В121=А)  Р(В)=Р(В1) + Р(В2)= Р(А) + Р(В2)

Теорема умножения вероятностей. Условные вероятности.

 

Опыт повторяется n раз, mB раз наступает событие В, mАВ раз наряду с событием В наступает событие А.

hn(B) =     hn(AB) =

Рассмотрим относительную частоту наступления события А, когда событие В уже наступило:

 - условная вероятность события А по событию В – вероятность события А, когда событие В уже наступило.

 

Свойства условных вероятностей.

Свойства условных вероятностей аналогичны свойствам безусловных вероятностей.

1.      0 £ Р(А/В) £ 1, т.к. ; АВ Ì В, Р(АВ) £ Р(В)

2.      Р(А/А)=1

3.      ВÌА, è Р(А/В)=1

4.     

5.      Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) – Если события А и С несовместны

Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) - Р(АC/В) – Если события А и С совместны

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого.

Свойства независимых событий.

Если события А и В независимы, то независимы и каждая из пар: А и В, А и ,  и В, .

Если события Н1, Н2, …Нn независимы, то заменяя любые из них на противоположные, вновь получаем независимые события.

Формула полной вероятности.

Вероятность события В, которое может произойти совместно только с одним из событий Н1, Н2, …Нn , образующих полную группу событий, вычисляется по формуле:

События А1, А2, …Аn называют гипотезами.

Теорема гипотез (формула Байеса).

Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н1), Р(Н2)…Р(НN), а в результате опыта произошло событие А, то условные вероятности гипотез находятся по формуле:

Пример. На трех технологических линиях изготавливаются микросхемы. Найти: 1) вероятность того, что случайно выбранное изделие оказывается бракованным; 2) вероятность того, что если изделие дефектно, то оно изготовлено на 1 линии.

№ линии

Количество изготавливаемых микросхем

Вероятность брака

1

25%

5%;




2

35%

4%

3

40%

2%

Рассмотрим события: Н1, Н2,…Нi,…,НN (полная группа событий)– изделие изготавливается i линией; А.

1)      Р(А)=0,25*0,05+0,35*0,04+0,4*002=0,0345=3,45%

2)     

Схема последовательных испытаний Бернулли.

Проводится серия из n испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может произойти событие А, с вероятностью q=1-р событие .

Вероятность наступления события А не зависит от числа испытаний n и результатов других испытаний.

Такая схема испытаний с двумя исходами (событие А наступило либо не наступило) называется схемой последовательных испытаний Бернулли.

Пусть при n испытаниях событие А наступило k раз, (n-k) раз событие .

 - число различных комбинаций события А

Вероятность каждой отдельной комбинации:

Вероятность того, что в серии из n испытаний событие А, вероятность которого равна р, появится k раз:

 - условие нормировки.

Пример. Вероятность изготовления нестандартной детали равна р=0,25, q=0.75. Построить многоугольник распределения вероятностей числа нестандартных деталей среди 8 изготовленных.

N=8       p=0.25           q=0.75

Если k0 – наивероятнейшее число, то оно находится в пределах:

np-q £ k0 £ np+q

Если число (np+q) нецелое, то k0 – единственное
            Если число (np+q) целое, то существует 2 числа k0.

Предельные теоремы в схеме Бернулли.

1.      Предельная теорема Пуассона. При р»0, n-велико, np= l £ 10.

 Формула дает распределение Пуасона, описывает редкие события.

2.      Предельная теорема Муавра-Лапласа.

0 £ p £ 1, n –велико, np>10

 - стандартное нормальное распределение

 

3.      Предельная интегральная теорема Муавра-Лапласа.

В условиях предыдущей теоремы вероятность того, что событие А в серии из n испытаний наступит не менее k1 раз и не более k2 раз:

 - функция Лапласа

Следствие:

Пример. ОТК проверяет на стандартность 1000 деталей. Выбранная деталь с вероятностью р=0,975 является стандартной.

1)      Найти наивероятнейшее число стандартных деталей:

K0=np=975

2)      Найти вероятность того, что число стандартных деталей среди проверенных отличается от kне более чем на 10.

3)      С вероятностью  0,95 найти максимальное отклонение числа стандартных деталей среди проверенных.

4)      Найти число проверяемых деталей n, среди которых с вероятностью 0,9999 стандартные детали составят не менее 95%.

0,95n £ k £ n

P(0,95n £ k £ n)=0.9999 = Ф(х2)- Ф(х1) =

  n=3.92*39=594

при р=0,9999  n=594

при р=0,999    n=428

при р=0,99      n=260