ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Администрация
Механический Электроника
биологии
география
дом в саду
история
литература
маркетинг
математике Физика информатики химия
медицина
музыка
образование
психология
разное
художественная культура
экономика




















































ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

математике


Отправить его в другом документе Tab для Yahoo книги - конечно, эссе, очерк Hits: 1676


дтхзйе дплхнеофщ

Механический смысл КРИ-2:
ПРИМЕНЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ФИБОНАЧЧИ к КОРРЕКЦИЯМ и РАСШИРЕНИЯМ
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость
Метод на триъгълните призми
Дифференциал функции двух переменных
Интеграл Лебега
Сходимость положительных рядов (продолжение)
Тело и его свойства
Идеология пространственной бесконечности
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
 

ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Определение. Линейный оператор j : Ln ® Ln называется

диагонализируемым, если  существует базис е в  Ln такой, что [] - диагональная матрица,  [] = diag(l1,…,lп).

      Теорема 1 (необходимое и достаточное условие диагонализируемости).  Линейный оператор j : Ln ® Ln имеет в некотором базисе е диагональную матрицу []= diag(l1,…,lп) Û базис е состоит из собственных векторов л.о. j , а l1,…,lпсобственные значения оператора j .

      Доказательство.

Þ. Пусть в базисе е = матрица [] = diag(l1,…,lп). Тогда "i=1,…,п     j еi= li× еi Þ базис е состоит из собственных векторов л.о. j , с собственными значениями l1,…,lп .




Ü. Если базис  е = состоит из собственных векторов л.о. j , с собственными значениями l1,…,lп , то "i=1,…,п   j еi= li× еi Þ  [] = diag(l1,…,lп).

                                                                                        ÿ

      Рассмотрим, при каких условиях в Ln существует базис из собственных векторов л.о. j.

      Лемма. Собственные векторы  л.о. j, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

      Доказательство. Пусть s1,…, sk – собственные векторы л.о. j  с различными собственными значениями l1,…,lk. Проведем доказательство индукцией по k .

      При  k = 1 вектор s1  линейно независим, так как  s1 ¹  0.

      Пусть для  k - 1 утверждение верно, то есть s1,…, sk-1  линейно независимы. Покажем, что тогда s1,…, sk-1, sk  линейно независимы. Предположим, что

                  a1s1+…+a k-1sk-1+a k sk = 0.                               (17.1)

Применим к левой и правой частям этого равенства л.о. j . Получим :

                 a1l1s1+…+a k-1l k-1sk-1+a klksk = 0.                    (17.2)

Теперь умножим равенство (17.1) на lk и вычтем его из (17.2). Получим a1(l1 -lk)s1+…+a k-1(l k-1 -lk)sk-1= 0. Но s1,…, sk-1  линейно независимы Þ a1(l1 -lk)=…=a k-1(l k-1 -lk)= 0 Þ a1=…=a k-1=0, так как l1 -lk ¹ 0,…, l k-1 -lk ¹ 0. Теперь из (17.1) получаем, что a k sk = 0 Þ a k= 0  (так как  sk ¹ 0) Þ s1,…,sk - линейно независимы.

                                                                                             ÿ

      Пример. В линейном пространстве L = С(-¥, +¥бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой для л.о.  j = d/dx: С(-¥, +¥) → С (-¥, +¥)  (см. пример из п.16.4) векторы еаx являются собственными векторами, и поэтому любая система векторов с различными а, b,…,с – линейно независима.

      Теорема 2 (достаточное условие диагонализируемости).

     Если характеристический многочлен cj(t) линейного оператора j : Ln ® Ln имеет п различных корней в поле Р, то в Ln существует базис из собственных векторов (в котором матрица [j ] – диагональна).




      Доказательство. Действительно, в этом случае по лемме в  Ln существуют  п  линейно независимых собственных векторов л.о. j, которые образуют базис из собственных векторов (в котором по теореме 1 матрица [j ] – диагональна).

                                                                                        ÿ

      Замечание. Условие в теореме 2 достаточное, но не необходимое:  л.о. id :  Ln ® Ln имеет единственное собственное значение l1 =1, но любой базис пространства Ln состоит из собственных векторов л.о. id.

      Рассмотрим, почему л.о. j : Ln ® Ln может не быть диагонализируемым. Во-первых, это может быть из-за того, что поле  Р не алгебраически замкнуто, и характеристический многочлен cj(t) имеет в Р меньше, чем п корней. Например, для поворота плоскости  на  угол   p/2     характеристический

многочлен t2+1 не имеет действительных корней, и, очевидно, собственных векторов для этого поворота также нет. Во-вторых, для некоторого собственного значения l0 Î Р кратности k >1 число соответствующих линейно независимых собственных векторов может быть меньше, чем  k (см. теорему 3). Например, для л.о. j  с матрицей [j ]= в базисе е = , очевидно, l1,2 =1- собственное значение кратности 2, но существует лишь один соответствующий линейно независимый собственный вектор  –  это е1.

      Теорема 3. Пусть Ln – линейное пространство над полем Р, j : Ln ® Ln - линейный оператор, l0 корень характеристического многочлена cj(t) кратности k ³ 1. Тогда число линейно независимых собственных векторов оператора j с собственным значением l0  не превосходит k .

      Доказательство. Пусть dim Ker(l0 id - j)= m, – базис подпространства  Ker(l0 id - j)  (m – это и есть максимальное число линейно независимых собственных векторов оператора j с собственным значением l0 ). Дополним систему векторов до базиса  е  всего пространства  Ln:  

е = . Тогда    []==,

где Еm – единичная  (m´ m)-матрица, 0 – нулевая (nm)´ m-матрица, В – некоторая  m´(nm)-матрица, С - некоторая  

(nm)´ (nm)-матрица.  Характеристический многочлен

cj(t)= det(tЕ - [])=det =(t -l0)m×g(t), где g(t) – некоторый многочлен от t. Поэтому k ³ m, то есть  максимальное число линейно независимых собственных векторов оператора j с собственным значением l0  не превосходит  кратности корня  l0 в характеристическом многочлене.