МАТРИЦА ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО БАЗИСА К ДРУГОМУ
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Администрация
Механический Электроника
биологии
география
дом в саду
история
литература
маркетинг
математике Физика информатики химия
медицина
музыка
образование
психология
разное
художественная культура
экономика





















































МАТРИЦА ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО БАЗИСА К ДРУГОМУ

математике



Отправить его в другом документе Tab для Yahoo книги - конечно, эссе, очерк Hits: 1996



дтхзйе дплхнеофщ

РАБОТА С КОРРЕКЦИЯМИ
Целочисленное и нелинейное программирование
Закон распределения вероятностей случайной величины
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Неодновременное поступление работ
Метод математической статистики при обработке результатов эргономического эксперимента (на примере реакции ДСП)
Равномерное распределение
Определители
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Подстановки. Группы.
 

МАТРИЦА ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО БАЗИСА К ДРУГОМУ

 1. Изменение координат вектора при изменении

базиса.

       Пусть e= и  e¢ = - некоторые базисы в

пространстве L = Ln. Для произвольного вектора x Î Ln  рас­смотрим разложения x== и найдем зависи­мость

между координатами хi  и  х¢i вектора  x в этих базисах.



    Пусть []=[x],  []=[x  и e¢j = , j = 1,…,n, tij Î P - разложение векторов базиса e¢ по базису e. Определим мат­рицу= T=(tij)i,j=1,…,n, столбцами которой являются столцы Т j =[]. Эта матрица Т  называется матрицей перехода от базиса e к базису e¢. Очевидно, x === =еi  Þ хi = - это произведение i-ой строки матрицы T= (tij ) на столбец [x]¢, и []=[] или в сокращенном виде  [x] = Т× [x]¢.

      Следуя (13.1), в матричном виде всё это можно записать так: е¢ = е×Т,   х = е×[x] = е¢× [x]¢ = е×Т× [x]¢ Þ [x] = Т× [x]¢.

      Очевидно, в матрице Т столбцы Т j, j=1,…,n, - линейно независимы (как столбцы ко­ординат в базисе е линейно независимых векторов e¢1,…,e¢n). Поэтому  detT ¹ 0 Þ $ T -1 Þ  [x]¢ = T -1×[x], то есть  T -1=.

2. Изменение матрицы линейного отображения

при изменении базисов.

      Пусть e= и  e¢ = – два базиса в про­странстве Ln, u= и  u¢ = – два базиса в пространстве Lm, Т1 = Т2 =  - матрицы перехода, и  j : Ln ® Lm - линейное отображение. Найдем зависимость между матрицами [] = [j]  и  [] = [j]¢  линейного отображения   j  в базисах  е, и  и  е¢, и¢  соответственно.

       Если  y = j х, то  в базисах  е, и  имеем  [y] = [j][x], а в   базисах  е¢, и¢  соответственно  [y]¢ = [j]¢[x]¢. Но  [x] =  Т1 [x]¢,

[y]2[y]¢, так что Т2[y=[j]Т1[x]¢ и [y2-1[j]Т1[x= [j]¢[x]¢. Отсюда [j]¢ = Т2-1[j]Т1  или [] =-1[]. В частном случае при  Ln = Lm, е = и, е¢ = и¢  для линейного оператора




j : Ln® Lп  получаем [] = [], то есть  [j]¢= Т-1[j]Т,

где  [j] = [], [j]¢= [],   Т =. 

      Лемма. Для линейного оператора j : Ln ® Lп    det[]  не

зависит от базиса.

      Доказательство. det= det[j]¢ = det Т-1det[j]det Т=

= det (Т-1Т)det[j] = det Е det[j] = det[j] = det[].

      Определение. Определителем detj  линейного оператора

j : Ln ® Lп  называется  det[] - определитель матрицы линейного оператора j  в произвольном базисе е .

      Из леммы следует, что наше определение корректно.

      3. Эквивалентные матрицы.

      Введем на множестве Мп(Р)  квадратных матриц бинар­ное отношение ~ : будем считать, что для матриц А,ВÎ Мп(Р)

выполняется  АÛ  $ матрица ТÎ Мп(Р) такая, что |T| ¹ 0 и  А = Т-1ВТ.

      Утверждение. Отношение ~  на множестве Мп(Р) явля­ется отношением эквивалентности.

      Доказательство.

а)  " АÎ Мп(Р)     А~А, так как при Т= Е имеем  А = Е –1АЕ, то есть отношение ~  рефлексивно.

в) Пусть А~В Þ $ ТÎ Мп(Р) такая, что А =Т-1ВТ Þ В=ТА Т-1= = (Т-1)-1А Т-11-1 А Т1, где Т1 = Т-1, поэтому В ~ А, то есть от­ношение ~  симметрично.

с) Пусть А~В и В~С Þ $ Т12Î Мп(Р) такие, что А =Т1-1ВТ1 и В =Т2-1СТ2 Þ А= Т1-1Т2-1СТ2Т1= (Т2Т1 )-1С(Т2Т1) =Т3-1СТ3, где Т3 = Т2Т1, то есть отношение ~  транзитивно.

     Таким образом, отношение ~  является отношением экви­валентности.

                                                                                         ÿ

      Далее мы будем использовать следующее 

      Определение. Матрицы  А, ВÎ Мп(Р) называются эквивалентными  Û  $   матрица  ТÎ Мп(Р)  такая, что  |T| ¹  0  и

А = Т-1ВТ.

      Очевидно,  множество  матриц  Мп(Р)  разбивается на не­-

пересекающиеся классы эквивалентных матриц. Эти классы образуют фактор-множество  Мп(Р)¤~.  Каждый класс эквива­лентных матриц состоит из матриц некоторого линейного оператора j : Ln ® Lп, записанных во всевозможных базисах пространства Ln. Пользуясь этим фактом, можно было дать другое определение отношения ~ и иначе доказать наше утверждение. Можно было считать, что  А~В Û А и В являются матрицами одного и того же оператора, но записанными в разных (может быть, совпадающих) базисах. Тогда транзитивность отношения ~ следует из того, что если  А и В являются матрицами одного и того же оператора, В и С являются матрицами одного и того же оператора, то, конечно же, А и С являются матрицами одного и того же, того же самого опера­тора. Ещё более очевидна рефлексивность и симметричность отношения ~.

      Основной задачей теории матриц и теории линейных операторов является задача описания фактор-множества     Мп(Р)¤~, то есть задача выбора в каждом классе единствен­ного наиболее простого представителя, или же выбора наи­более простого вида матрицы линейного оператора в некото­ром «хорошем» базисе - это задача классификации всех матриц (соответственно, всех операторов) с точностью до от­ношения эквивалентности ~ . Решение этой задачи будет оз­начать, что для любой матрицы мы сможем узнать, какой наиболее простой матрице она эквивалентна, какие пары матриц эквивалентны друг другу, сколько существует раз­личных матриц с точностью до эквивалентности. Для опера­торов это будет означать, что для любого оператора мы смо­жем узнать, к какому наиболее простому виду можно при­вести его матрицу выбором подходящего базиса, сколько существует различных операторов, насколько они похожи, как устроены, каков их геометрический смысл.

        Упражнение. Доказать, что если А~В, то detA = detB и rgA = rgB.