Элементы комбинаторики
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Администрация
Механический Электроника
биологии
география
дом в саду
история
литература
маркетинг
математике Физика информатики химия
медицина
музыка
образование
психология
разное
художественная культура
экономика





















































Элементы комбинаторики

математике



Отправить его в другом документе Tab для Yahoo книги - конечно, эссе, очерк Hits: 1554



дтхзйе дплхнеофщ

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛУ)
Комплексные числа
Математические иллюзии
Формула Лейбница
Логаритмични уравнения и неравенства
УНИТАРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Упорядочение при наличии ограничений на возможные варианты расписаний
ГРУППЫ
Дискретные и непрерывные случайные величины
Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу). Методы вычисления определителей. Понятие об определителе n-го порядка.
 

Элементы комбинаторики.

 

Формулы комбинаторики составляют теоретическую базу при использовании классического определения вероятности, которое в прикладных задачах играет большую роль.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций:

q       Перестановки;

q       Размещения;

q       Сочетания;

I. Перестановки.

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называют перестановками.

Обозначаются символом ;

;

, ( – эн факториал)

Пример. В соревновании участвовало 4 команды, сколько существует вариантов распределить места между ними.

Решение. Количество вариантов распределения четырех команд по местам – равно числу перестановок из четырех элементов: .

Пример. В ящике пять одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики из ящика. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Благоприятствует событию  только один исход, (из всех возможных комбинаций номеров только одна с порядком возрастания номеров).

Общее число возможных исходов – количество комбинаций из  номеров, .

Искомая вероятность: .

II. Размещения

Комбинации из n элементов по k элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, или порядком элементов называют размещениями.

Обозначаются символом

 – количество всех имеющихся элементов;

 – количество элементов в каждой комбинации; .

;

Пример. Сколько существует вариантов размещения  призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций извлеченных из 7 элементов и включающих по 3 элемента (причем и – различные комбинации). Используем число размещений из 7 элементов по 3:

                  .

Пример. Из пяти карточек с буквами О, П, Р, С, Т наугад одну за другой выбирают три и располагают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «ТОР»?

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что получится слово «ТОР».

Благоприятствует событию  только один исход, (комбинация букв «ТОР»).

Общее число возможных исходов – равно числу способов, которыми можно отобрать 3 карточки из имеющихся 5, получая при этом комбинации букв отличающиеся либо самими буквами (СОР – ТОР), либо их порядком (РОТ – ОРТ). Оно определяется числом размещений из 5 элементов по 3:

                  .

Искомая вероятность:

                  .

III. Сочетания

Сочетаниями называют все возможные комбинации из n элементов по k элементов, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом.

Обозначаются символом

 – количество всех имеющихся элементов;

 – количество элементов в каждой комбинации; .

;

Пример. Сколькими способами можно выбрать 3 студентов, из группы численностью 30 человек.

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций извлеченных из 30 элементов и включающих по 3 элемента (причем комбинации: и – одинаковые комбинации). Используем число размещений из 30 элементов по 3:

                  .

Пример. В урне 5 белых и 4 красных шара. Из урны наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары – белые.

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что все 3 шара будут белыми.

Всего в урне  шаров.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 3 шара из 9:

                  .

Число исходов благоприятствующих событию  равно числу способов, которыми можно отобрать 3 белых шара из имеющихся 5 белых:

                  .

Искомая вероятность равна:

                  .

Пример. В ящике имеется 11 одинаковых шаров. Причем 4 из них окрашены в синий цвет, а остальные белые. Наудачу извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них 2 синих.

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что среди извлеченных 5 шаров 2 синих.

Обще число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 5 шаров из 11, т.е.

                  .

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию : 2 синих шара можно взять из 4 имеющихся синих шаров  способами; при этом остальные  шара должны быть белыми, взять же 3 белых шара из имеющихся 7 можно  способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно:

                  .

Искомая вероятность:

                  .

В общем случае, для решения задач типа: В партии из  деталей имеется  стандартных. Наудачу отобраны  деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно  стандартных. Можно использовать формулу:

.