Разложение функций в степенные ряды
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Администрация
Механический Электроника
биологии
география
дом в саду
история
литература
маркетинг
математике Физика информатики химия
медицина
музыка
образование
психология
разное
художественная культура
экономика





















































Разложение функций в степенные ряды

математике



Отправить его в другом документе Tab для Yahoo книги - конечно, эссе, очерк Hits: 1688



дтхзйе дплхнеофщ

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Дифференцируемость ф-ций нескольких переменных
Найти неопределенный интеграл
Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
Нахождение значения U( *D) по интерполяционной формула Лагранжа
Биективные отображения
Графика и визуализация данных
Принципы развития теории алгоритмов
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Операции над событиями и их свойства
 

Разложение функций в степенные ряды

Если функция раскладывается в степенной ряд (1) в некоторой окрестности точки а, то эта функция является бесконечно дифференцируемой в этой окрестности.

Пример.

непрерывна и имеет производные люб 353j97dd ого порядка и при

Производная в нуле:

Теорема (о единственности разложения функции в степенной ряд). Если в некоторой окрестности точки а

Степенной ряд вида называется рядом Тейлора в окрестности точки а. Таким образом, если функция раскладывается в степенной ряд, то он является рядом Тейлора. Например:

Доказательство.

Доказано.

Вернёмся к предыдущему примеру. Если ранее введённая функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки противоречие с возможностью разложения некоторой функции в некоторой окрестности. Т.е. одной бесконечной дифференцируемости функции недостаточно для разложения в ряд.

Исследуем условия разложимости функции в степенной ряд. Для этого воспользуемся формулой Тейлора:

Отсюда, раскладывается в степенной ряд в точке а тогда и только тогда, когда:

Таким образом, вопрос о разложимости связан с ростом производных функции f. Укажем достаточные условия на рост производных для разложимости функций в степенной ряд.

Теорема. Если то

.

Доказательство.

Убедимся, что Удобнее всего для этого рассмотреть ряд и доказать сходимость По признаку Даламбера получаем:

ряд сходится, и в таком случае предел общего члена равен нулю.

1)      Разложение элементарных функций в ряды Тейлора-Маклорена.

Последнее разложение получено почленным дифференцированием предыдущего разложения.