Подстановки. Группы.
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Администрация
Механический Электроника
биологии
география
дом в саду
история
литература
маркетинг
математике Физика информатики химия
медицина
музыка
образование
психология
разное
художественная культура
экономика





















































Подстановки. Группы.

математике



Отправить его в другом документе Tab для Yahoo книги - конечно, эссе, очерк Hits: 811



дтхзйе дплхнеофщ

IПТИМАЛЬНIЕ КIAИРIAАНИЕ
Вектор–строки и вектор–столбцы
ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Что скрывают неевклидовы геометрии?
Идеология пространственной бесконечности
СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ
Построение исчисления предикатов
Решение канонической задачи линейного программирования методом перебора
КОМБИНАТОРИКА. БИНОМ НЬЮТОНА
 

Подстановки. Группы.

Математики - вроде французов, когда гово­ришь с ними, они переводят твои слова на свой язык и сразу получается что-то совсем другое. В. Гете

В самом начале ХУ11 века немецкий математик П. Роте (Rote Peter, 1580 -1611) сформулировал утверждение, которое на протяжении почти двух веков занимало умы, пожалуй, всех выдающихся математиков, получив название «ос­новной теоремы алгебры»: любое алгебраическое уравнение степени и с дейст­вительными коэффициентами име 949f58hj ет ровно п корней (среди них могут быть и совпадающие и комплексные). Честь закрытия этой проблемы принадлежит Га­уссу.

Интересно, что попытки решить эту задачу и смежные с ней вопросы привели к рождению нового и очень мощного направления в математике - тео­рии групп, которая нашла совершенно непредсказуемые при ее рождении при­ложения не только во многих разделах математики, но и физики,  механики,  кристаллографии,  химии,  даже  в  живописи и архитектуре.

Среди великих, интересовавшихся «основной теоремой алгебры», был французский математик Ж. П. Лагранж. Математикам того времени казалось, что получение формул для вычисления корней алгебраического уравнения про­извольной степени, подобных тем, которые были известны еще арабскому ма­тематику средневековья аль Бируни (Абу Рейхан Мухаммед ибн Ахмед, 973 -»1048) (для квадратных уравнений) и были открыты для уравнений третьей сте­пени, как считают, итальянцем Дж. Кардано (Cardano Girolamo, 1501 - 1576) -один из возможных путей решения проблемы. Причем они пытались получить формулы, выражающие корни уравнения



a0xn +a1xn-1 + a2xn-2 +...+ an-1x + an = 0, (ai Î R, n Î N), через его коэффициенты посредством арифметических действий (сложение, вы­читание, умножение, деление) и извлечения корней - эта задача получила назва­ние «разрешимости в радикалах» алгебраического уравнения.

Ситуация представлялась вполне разрешимой, тем более, что были най­дены и формулы для уравнений четвертой степени общего вида. Однако, анало­гичные формулы для корней уравнений пятой степени получить никак не уда­валось.

Наконец, в 1770 году Лагранж опубликовал свой трактат «Reflexions sur la resolution algebrique des equations» («Размышления об алгебраическом реше­нии уравнений»), в нем он изложил свои соображения, почему те методы, кото­рые позволили решать уравнения степени не выше четвертой, нерезультативны для более высоких степеней: разрешимость в радикалах неожиданным образом оказалась связанной со структурой подстановок из соответствующего степени числа букв - символов (двух, трех и т. д.). Причем некоторые свойства Sn при n<4 и n>4 существенно различны. Так впервые подстановки привлекли внима­ние математиков. Дальнейшее развитие идеи зависимости задачи разрешимости в радикалах алгебраического уравнения и свойств подстановок привели Лагранжа и другого известного французского математика А. Вандермонда (Vandermonde Alexander Theophill, 1735 - 1796) к необходимости исследовать рациональные функции от корней алгебраических уравнений и их изменения при перестановках этих корней.

Позднее итальянский математик П. Руффини (Ruffini Paolo, 1765 -1822), доказывая неразрешимость в радикалах уравнений пятой степени общего вида, использовал замкнутость множества подстановок из пяти элементов относи­тельно умножения (композиции) и описал все подгруппы S5. В 1824 году моло­дой норвежец Н. Абель (Abel Niels Henric, 1806 - 1829), основываясь на глубо­ких связях корней алгебраических уравнений и симметрических групп, доказал неразрешимость в радикалах алгебраических уравнений общего вида степени выше четвертой, а юный француз Э. Галуа (Galois Evarist, 1811 - 1832) устано­вил критерий их разрешимости.

Его работы не просто опирались на свойства симметрической группы (собственно термин «группа» (le group) ввел в математику Галуа, хотя строгого ее определения он не дал),- результаты, которые 21 -летний математик изложил в письме к своему другу накануне его трагически закончившейся дуэли, содер­жали основы теории групп. В сжатых заметках Галуа оказались гармонично связанными строгой логикой новой теории и исторические задачи вроде удвое­ния куба и трисекции угла и разрешимость в радикалах алгебраических уравне­ний третьей и, вообще, любой степени. Но потребовалось почти 14 лет, чтобы его работы были обнаружены Ж. Лиувиллем, поняты им и напечатаны. А значе­ние его работ во всей полноте было осознано математиками еще позже: благо­даря изложению его методов и исследованиям его результатов другим француз­ским математиком К. Жорданом (Jordan Marie Camile, 1838 - 1922), опублико­вавшим их в 1870 году в «Traite des substitutions et de equation algebriques» («Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях»), и появившимся к то­му времени в той же области математики, которая теперь называется теорией групп, работам члена Парижской Академии Наук 0. Коши (Cauchy Augustin Louis, 1789 - 1857). Он установил и доказал много интересных теорем о свойст­вах симметрической группы Sn. Сейчас идеи Галуа признаны одними из самых выдающихся достижений математики XIX века, он опередил свое время почти на полстолетия. Позднее применение групповых методов в геометрии немец­ким математиком А. Мебиусом (Mobius August Ferdinand, 1790 - 1868) и англи­чанином А. Кэли привели другого выдающегося немецкого математика Ф. Клейна (Klein Christian Felix, 1849 - 1925) к идее классификации геометрий на групповой основе: каждая из геометрий определяется некоторой группой пре­образований и ее инвариантами. «Эрлангенская программа», сформулированная им на математическом конгрессе в 1872 году, определяет направления геомет­рических исследований до настоящего времени.




Покажем один простой, но изящный пример приложения теории групп (точнее - теории подстановок) в геометрии. Так известно, какими движениями (перемещениями) правильный треугольник отображается в себя: осевыми симметриями относительно биссектрис его внутренних углов и поворотами вокруг его центра на 0, 2p/3 и 4p/3. Несложно проверить, что эти шесть самосовмеще­ний образуют конечную группу. Однако, они могут быть заданы иначе: если за­нумеровать вершины треугольника цифрами 1, 2, 3, то повороту на угол 2p/3 соответствует подстановка вершин , на 4p/3 –    на 0 -  тождественная, аналогично подстановки , и соответствуют осевым симметриям. Таким образом, можно сказать, что группой самосовмещений правильного треугольника является симметрическая группа третьего порядка S3, или что правильный треугольник представляет собой инва­риант (не меняющийся объект, от английского - invariant - неизменный) группы S3.