НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1. Основные поня 838h71ii ;тия

Пусть функция ═определена на некотором интервале .

Функция ═называется первообразной для функции ═на интервале , если для любого ═выполняется равенство ═(или ).

Теорема. Если функция ═является первообразной для функции ═на , то множество всех первообразных для ═задается формулой , где ═- постоянное число.

Множество всех первообразных функций для ═называется неопределенным интегралом от функции ═и обозначается

.

2.2. Свойства неопределенного интеграла

.

.

.

где .

Если , то

,

где .

2.3. Таблица основных интегралов

1.      .

2.      , .

3.      .

4.      .

5.      .

6.      .

7.      .

8.      .

9.      .

10.  .

11.  .

12.  .

13.  .

14.  .

15.  .

16.  .

17.  .

2.4. Методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

При использовании данного метода интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Метод подстановки (замена переменной)

Данный метод заключается во введении новой переменной интегрирования. Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку , где ═- функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда .

Получаем формулу замены переменной

.

Иногда удобнее подобрать подстановку в виде , тогда

.

Метод интегрирования по частям

Пусть ═и ═- функции, имеющие непрерывные производные. Тогда имеет место равенство

.

Данная формула называется формулой интегрирования по частям.

С помощью интегрирования по частям находятся следующие интегралы:

1) Интегралы вида , , , где ═- многочлен, ═- константа. Обозначают за , за ═- сомножители.

2) Интегралы вида , ,

, , . Обозначают за , за ═- сомножители.