МАТРИЦЫ
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Администрация
Механический Электроника
биологии
география
дом в саду
история
литература
маркетинг
математике Физика информатики химия
медицина
музыка
образование
психология
разное
художественная культура
экономика





















































МАТРИЦЫ

математике



Отправить его в другом документе Tab для Yahoo книги - конечно, эссе, очерк Hits: 683



дтхзйе дплхнеофщ

Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла
Дифференцируемость ф-ций нескольких переменных
МHОЖЕСТВЕHHЫЕ ЦЕHОВЫЕ ЦЕЛИ ПО ФИБОHАЧЧИ
Частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость
ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Физика в геометрических символах
Использование равносильностей для упрощения формул
Ряды Фурье (продолжение)
МАТРИЦЫ
 

МАТРИЦЫ

            1. Понятие матрицы. Прямоугольная таблица чисел

,                                       (2)

содержащая  строк и  столбцов, называется матрицей размеров . Числа  называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в которых расположен этот элемент. В дальнейшем будем обозначать матрицы большими буквами латинского алфавита:  и т.д.

            Часто вместо подробной записи (2) употребляют сокращенную:  или даже .

            Две матрицы  и  считаются равными, если совпадают их размеры 626h78gg и  при любых  и .

            Наряду с матрицей

часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы  (т.е. столбцы и строки меняются местами). Эта матрица называется транспонированной к  и обозначается через :

.

            2. Квадратные матрицы. Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной, а число  ее строк (равное числу столбцов) – порядком квадратной матрицы:

.

            Диагональ  квадратной матрицы называется главной диагональю, а диагональ  – побочной диагональю.

            Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, которые находятся ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, т.е. треугольная матрица имеет вид

  или  .

При этом матрицу  называют верхнетреугольной, а матрицу  – нижнетреугольной.

            3. Действия с матрицами.

1)      Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу  на число , нужно каждый элемент матрицы  умножить на это число: .

2)      Сложение матриц. Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов, т.е. матрицы одинаковых размеров. Суммой матриц  и  называется матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц  и , т.е.  для любых индексов , .

3)      Умножение матриц. Произведение матрицы  на матрицу  (обозначается ) определено только в том случае, когда число столбцов матрицы  равно числу строк матрицы . В результате умножения получим матрицу , у которой столько же строк, сколько их в матрице , и столько же столбцов, сколько их в матрице . Для удобства запоминания запишем это кратко:

      Если ,  и , то элементы  определяются следующим образом:

,                          (3)

     где .

            Это правило можно сформулировать и словесно: элемент , стоящий на пересечении -й строки и -го столбца матрицы , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов -й строки матрицы  и -го столбца матрицы . Другими словами, элемент  является результатом скалярного произведения -й вектор-строки и -го вектор-столбца.

            В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц 2-го порядка:

.

            Заметим, что оба произведения  и  можно определить лишь в том случае, когда число столбцов матрицы  совпадает с числом строк матрицы , а число строк матрицы  совпадает с числом столбцов матрицы . А именно, матрица  имеет размеры , а  – размеры . При этом, вообще говоря,  (проверьте на примере!).

            Из формулы (3) вытекают следующие свойства умножения матриц:

1)       (ассоциативность умножения);

2)       или

(дистрибутивность умножения относительно сложения).

4. Обратная матрица. Среди квадратных матриц одного и того же порядка (например, порядка , т.е. размеров ) важную роль играет матрица вида

,

которую называют единичной матрицей. Легко проверить, что для любой матрицы  -го порядка имеют место равенства

.

Эти равенства показывают особую роль единичной матрицы , аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел.

            Как известно, для каждого числа  существует такое число , что . Число  называется обратным для . Если мы зафиксируем натуральное число  и будем рассматривать квадратные матрицы -го порядка, то в этом множестве матриц единичная матрица  будет играть роль единицы. Естественно поставить вопрос о существовании обратной матрицы, т.е. такой матрицы, которая в произведении с данной матрицей дает единичную.

Определение. Пусть  – квадратная матрица -го порядка. Квадратная матрица  (того же порядка ) называется обратной для , если

.

Матрицу, обратную к матрице , принято обозначать символом .