Функционал ошибки
создание документов онлайн
Документы и бланки онлайн

Обследовать

Администрация
Механический Электроника
биологии
география
дом в саду
история
литература
маркетинг
математике Физика информатики химия
медицина
музыка
образование
психология
разное
художественная культура
экономика





















































Функционал ошибки

математике



Отправить его в другом документе Tab для Yahoo книги - конечно, эссе, очерк Hits: 854



дтхзйе дплхнеофщ

Наблюдатель состояния
Вычислить определенные интегралы
Криволинейный интеграл 1го рода
Непрерывное преобразование Фурье
Метод математической статистики при обработке результатов эргономического эксперимента (на примере реакции ДСП)
Семантика исчисления предикатов
О взаимодействии размерностей в математических преобразованиях
Случайные величины и распределение вероятностей
Параллельные машины
Операции на бинарных отношениях. Отображения.
 

Функционал ошибки

Второй из способов построения итерационного метода решения системы линейных алгебраических уравнений  () состоит из построения последовательности приближений  такой, что , т.е. строгого убывания на каждом шаге функционала ошибки .

Теорема.

Если   ()

и отображение  (оператор шага для ошибки: ) непрерывно при , то , т.е. .

Док–во.

Т.к. , то .

Предположим, что .

Т.к. , то .

Т.к. , то .

Тогда, выполнив предельный переход в соотношениях

получим противоречие:   .

Обычно используют нормы, порождаемые симметричной положительно определенной матрицей: .

Доказать: если , то

 – скалярное произведение,

 – норма в .

Метод полной релаксации

для решения системы  с матрицей  – очередное приближение  определяется по известному приближению  за  шагов:

где параметр  выбирается из условия минимума .


Теорема.

и .

Док–во.

Т.к. , то имеем

.

Очевидно, что при  будет максимальное уменьшение ошибки (полная релаксация):

 .

  ,

если хотя бы одна из компонент невязки

(в противном случае , т.е. ).

Итак, функционал ошибки строго убывает.

Найдем оператор шага для ошибки:

имеем (проверить!):

или

   – метод Зейделя (он сходится)

   – непрерывный (всюду) оператор шага

   по теореме о функционале ошибки.

Метод неполной релаксации

для решения системы  с матрицей  – очередное приближение  определяется по известному приближению  за  шагов:

где параметр , т.е. ошибка уменьшается меньше, чем в методе полной релаксации ():

Расчетные формулы имеют вид (проверить!):

или

Теорема.

Если , то метод неполной релаксации сходится .

Док–во

практически совпадает с доказательством сходимости метода полной релаксации.

Оценка сходимости методов релаксации

Итак, ошибка  монотонно убывает в норме . Оценим .

Т. к.

, где , то , если .

.

Т.к. , то

где .


Пусть .

Т.к. ,

то .

Теорема.

где постоянные  и  таковы, что

 

(, )

Док–во

очевидно.

Доказать: .

Доказать: .

Пример

,

,

т.к. , то  и ,

тогда (проверить):

верхняя релаксация

,

,

полная релаксация

,     

т.е. метод верхней релаксации в  раз дешевле.